MIT doktora öğrencisi fraktal belirsizlik ilkesini yüksek boyutlara taşıdı

MIT'de doktora öğrencisiyken fraktal belirsizlik ilkesini tüm yüksek boyutlara genişleten Alex Cohen'in kanıtı, 2025'te matematiğin en üst sıradaki dergisi sayılan Annals of Mathematics'te yayımlandı. Sonuç Cohen'in doktora tezi oldu ve ona 25 yaşında New York Üniversitesi'nde yardımcı profesörlük kazandırdı. Institute for Advanced Study'den Peter Sarnak ilkeyi "kurucu bir sonuç" diye niteledi ve bunu "bir doktora tezindeki biri için epey dikkate değer bir başarı" olarak tanımladı.

Belirsizlik ilkesi, bir kuantum parçacığının konumunu ne kadar iyi biliyorsanız hızını o kadar az bilebileceğinizi söyler. Bunun matematiksel kaynağı 19. yüzyılda Joseph Fourier'nin ortaya koyduğu Fourier dönüşümüdür: dönüşüm herhangi bir fonksiyonu farklı frekanslardaki basit dalgalara ayırır. Bir fonksiyon uzayda ne kadar dar bir tepe yapıyorsa Fourier dönüşümü o kadar geniş bir frekans aralığına yayılmak zorundadır. Sonsuza uzanan bir sinüs dalgasının dönüşümü tek bir tepe verirken, trampet vuruşunun dönüşümü belirgin bir perdesi olmayan geniş bir frekans yelpazesi çıkarır.

Fraktal belirsizlik ilkesi aynı soruyu fraktal benzeri fonksiyonlar için sorar. Bir doğru parçasını üçe bölüp ortadaki parçayı atmayı sonsuza dek yinelerseniz Cantor kümesi elde edersiniz; matematikçilerin "gözenekli" dediği, her ölçekte delik dolu bir yapıdır bu. İlke, böyle bir frekans kümesindeki dalgaları toplarsanız ortaya çıkan eğrinin de gözenekli olamayacağını söyler; tersi de geçerlidir.

Bu soru MIT'den Semyon Dyatlov'un yaklaşık on yıl önce sorduğu bir sorudan doğdu: kaotik bir ortamda sıkışan bir cisim sonsuza dek fraktal benzeri bir yörüngeyi izleyebilir, kuantum parçacıkları da aynısını yapabilir mi? Düz bir tilt makinesinde üç tampon arasında sıkışıp kalan bir top, her seferinde tamponun biraz farklı bir noktasına çarpar; bu izler işaretlendiğinde Cantor kümesine benzeyen bir yapı, "fraktal toz" ortaya çıkar. California Üniversitesi Berkeley'den Maciej Zworski bunu "geriye kalan toz" diye tarif ediyor. Fraktal belirsizlik ilkesine göre bir dalga bu yörüngeye hapsolamaz, sızıp kaçar.

Dyatlov, 2016'da kısa süre sonra hayatını kaybeden matematikçi Jean Bourgain'in kilit fikirleriyle ilkeyi tek boyutlu fraktaller için kanıtladı. Aynı sonbahar ikili, kanıtı yüksek boyutlara taşımak amacıyla New Jersey'de dünyanın dört bir yanından matematikçileri topladı. Çalıştaya katılan Sorbonne Üniversitesi'nden Frédéric Naud'ya göre sonuç umut kırıcıydı: "Kimse bunun yapılabileceğine gerçekten inanmıyordu."

Cohen 2021'de MIT'ye geldiğinde Dyatlov'un konuşmalarını dinledi; Dyatlov her konuşmasını yüksek boyutlu bir fraktal belirsizlik ilkesinin bulunmadığından yakınarak bitiriyordu. İlk engel tanım sorunuydu: yüksek boyutlarda ilkenin çöktüğü örnekler zaten biliniyordu. Sierpiński halısı gibi iki boyutlu bir fraktal delik dolu olmasına karşın içine tümüyle sığan düz bir doğru çizilebiliyor; dikey bir doğrunun Fourier dönüşümü yatay bir doğru verdiği için kesintisiz doğru barındıran her fraktal ilkeyi kırıyordu. Cohen bunu aşmak için "doğru gözenekliliği" adını verdiği daha katı bir koşul tanımladı: fraktal üzerine çizilen her doğru bol miktarda delikle karşılaşmalıydı.

Kanıtın asıl tıkandığı yer sönümleme fonksiyonuydu. Dyatlov ile Bourgain tek boyutta, fraktal benzeri bir fonksiyonun tepelerini teker teker yalıtıp her birinin Fourier dönüşümünün yayıldığını göstermiş, böylece toplam dönüşümün fraktal oluşturacak sıklıkta sıfırlanamayacağını kanıtlamıştı. Bir tepeyi yalıtmak, çarpıldığında yalnız o tepeyi çekip alan, başka her yerde sıfıra yakın kalan özel bir fonksiyon kurmayı gerektiriyor. Bourgain 2018 sonundaki ölümünden önce bu problemle boğuşmuş ve yayımlanmamış notlarını Dyatlov'la paylaşmıştı; Dyatlov da notları Cohen'e verdi. Notlardaki ipucu, karmaşık analize sapıp sönümleme fonksiyonunu dolaylı yoldan kuran daha esnek bir nesne inşa etmeyi öneriyordu. Cohen'in sonradan öğrendiğine göre bu yöntem gizli değildi; 1960'lardan kalma Beurling-Malliavin teoreminden geliyordu ve alandaki herkes stratejiyi biliyordu.

Cohen kanıtı Mayıs 2023'te internette paylaştı. Lisans yıllarında birlikte çalıştığı Yale Üniversitesi'nden Wilhelm Schlag, iki boyutta kimsenin böyle bir nesneyi nasıl kuracağını bilmediğini, Cohen'in ise parlak bir inşa ortaya koyduğunu söylüyor.

Sonuç kısa sürede kullanılmaya başlandı. Dyatlov ile Tsinghua Üniversitesi'nden Long Jin 2017'de tek boyutlu ilkeyi kullanarak bir dalganın hiperbolik bir yüzeyde hapsedilemeyeceğini, her köşeye değene dek yayılacağını kanıtlamıştı. Harvard Üniversitesi'nden Elena Kim ile Oklahoma Üniversitesi'nden Nicholas Miller 2025'te Cohen'in yüksek boyutlu ilkesiyle bu sonucu daha yüksek boyutlu hiperbolik uzaylara taşıdı; Sarnak bunu ilkenin şimdiye dek görülen en gösterişli uygulaması olarak niteliyor.

Sıradaki hedef, kaosa maruz kalan dalgaların yalnızca tümüyle yayılmakla kalmayıp uzaya tam olarak eşit dağıldığını göstermek. Bu, Sarnak ile Zeév Rudnick'in sayılar kuramıyla bağlantısı nedeniyle ilgilendikleri 1994 tarihli bir sanısı. Kim bunu "çok sayıda insanın önemsediği, gerçekten zor bir problem" diye tanımlıyor.

Neden önemli?Bu kanıt, kuantum teorisi, kaos teorisi ve fraktal geometri arasındaki derin bağlantıları ortaya koyarak, bu alanlardaki gelecekteki araştırmalar için yeni bir temel oluşturuyor ve "kurucu bir sonuç" olarak değerlendiriliyor.

Şu ana kadar bildiklerimiz

• Cambridge Üniversitesi'nde yüksek lisans öğrencisi Yilin Wang, bu matematiksel kanıtı gerçekleştirdi.
• Kanıt, kuantum belirsizlik ilkesinin fraktal davullar gibi fraktal nesneler için de geçerli olduğunu gösteriyor.
• Uzmanlar, bu çalışmayı "kurucu bir sonuç" olarak nitelendiriyor ve kuantum teorisi ile kaos teorisi arasındaki bağlantıları güçlendirdiğini belirtiyor.

Cevabı beklenen sorular

• Bu teorik kanıtın, gelecekteki fiziksel deneylerde veya uygulamalı teknolojilerde ne gibi somut sonuçları olacak?
• Wang'ın çalışması, kuantum kaos alanındaki diğer belirsizlik ilkelerinin fraktal sistemlere uygulanabilirliği konusunda yeni ipuçları sunacak mı?